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若x,y满足|ax|+|y|≤1(a>0),设x2+y2+
2
a
x+2y
的最小值为f(a),最大值为g(a),如果9[f(a)+1+
1
a2
]>g(a)
,则a的取值范围是
 
分析:由x,y满足|ax|+|y|≤1(a>0),画出图象:令t=x2+y2+
2
a
x+2y
=(x+
1
a
)2+(y+1)2-1-
1
a2

设圆:(x+
1
a
)2+(y-1)2=r2
.分类讨论:①当0<a<1时,当取点(
1
a
,0)
时,t取得最大值,可得g(a)=
3
a2

当圆与直线-ax-y=1相切时,t取得最小值,利用点到直线的距离公式可得r=
|-1+1+1|
a2+1
,于是f(a)=
1
a2+1
-1-
1
a2
.再利用9[f(a)+1+
1
a2
]>g(a)
,即可解得.②当a=1时,经验证满足条件,因此a=1.③当a>1时,类比①可得:f(a)=
1
a2+1
-1-
1
a2
;当取点(0,1)时,t取得最大值,g(a)=3.
再利用9[f(a)+1+
1
a2
]>g(a)
,即可解得.
解答:解:由x,y满足|ax|+|y|≤1(a>0),画出图象:精英家教网
令t=x2+y2+
2
a
x+2y
=(x+
1
a
)2+(y+1)2-1-
1
a2

设圆:(x+
1
a
)2+(y-1)2=r2

①当0<a<1时,当取点(
1
a
,0)
时,t取得最大值,
∴g(a)=(
2
a
)2+1-1-
1
a2
=
3
a2

当圆与直线-ax-y=1相切时,t取得最小值,
r=
|-1+1+1|
a2+1

∴f(a)=
1
a2+1
-1-
1
a2

9[f(a)+1+
1
a2
]>g(a)
,∴
9
a2+1
3
a2
,化为2a2>1.
又0<a<1,解得
2
2
<a<1

②当a=1时,经验证满足条件,因此a=1.
③当a>1时,类比①可得:f(a)=
1
a2+1
-1-
1
a2

当取点(0,1)时,t取得最大值,
∴g(a)=3.
9[f(a)+1+
1
a2
]>g(a)
,∴
9
1+a2
>3
,化为a2<2.
又a>1,解得1<a<
2

综上可知:a的取值范围是(
2
2
2
)

故答案为:(
2
2
2
)
点评:本题综合考查了线性规划问题、直线与圆相切问题、分类讨论等基础知识与基本技能方法,考查了分析问题和解决问题的能力,考查了计算能力,属于难题.
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x+y≥1
x-y≥-1
2x-y≤2
,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是(  )
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3x-5y+6≥0
2x+3y-15≤0
y≥0
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3x-5y+6≥0
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y≥0
,当且仅当x=y=3时,Z=ax-y取最小值,则实数a的取值范围是
(-
2
3
3
5
(-
2
3
3
5

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若x,y满足条件|ax|+|y|≤1(a>0),则
(a)P(x,y)的轨迹形成的图形的面积为1,则a=
2
2

(b)x2+y2+
2x
a
+2y
的最大值为
3
a2
,(0<a<1)
3,(a≥1)
3
a2
,(0<a<1)
3,(a≥1)

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