【题目】已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令 ,写出Tn关于n的表达式,并求满足Tn> 时n的取值范围.
【答案】
(1)解:由a1+2a2+3a3+…+nan=n,
可得a1+2a2+3a3+…+(n﹣1)an﹣1=n﹣1(n>1),
相减可得nan=1,即有an= ,(n>1),
当n=1时,a1=1,上式也成立,
可得an= ,(n∈N*);
(2)解:由 ,
结合(1)可得,bn=(2n﹣1)( )n,
前n项和Tn=1 +3( )2+…+(2n﹣3)( )n﹣1+(2n﹣1)( )n,
Tn=1( )2+3( )3+…+(2n﹣3)( )n+(2n﹣1)( )n+1,
相减可得, Tn= +2[( )2+…+( )n﹣1+( )n]﹣(2n﹣1)( )n+1
= +2 ﹣(2n﹣1)( )n+1,
化简可得,前n项和Tn=3﹣ .
由Tn﹣Tn﹣1=3﹣ ﹣(3﹣ )= ,
当n≥2时,Tn>Tn﹣1,可得数列{Tn}递增,
由T4=3﹣ = < ;T5=3﹣ = > .
即有n≥5时,Tn≥T5> .
故n的取值范围是n≥5,且n∈N*
【解析】(1)由条件,可将n换为n﹣1,相减,即可得到所求通项公式;(2)求得bn=(2n﹣1)( )n , 由数列的求和方法:错位相减法,运用等比数列的求和公式,计算可得Tn , 判断单调性,求得T4 , T5 , 即可得到所求n的范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系).
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【题目】如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法,执行该程序框图,则输出的结果S表示的值为( )
A.a0+a1+a2+a3
B.(a0+a1+a2+a3)x3
C.a0+a1x+a2x2+a3x3
D.a0x3+a1x2+a2x+a3
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【题目】已知m>0,p:(x+2)(x-6)≤0,q:2-m≤x≤2+m.
(1)若p是q成立的必要不充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若是 成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,三棱锥,侧棱,底面三角形为正三角形,边长为,顶点在平面上的射影为,有,且.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点使得⊥平面,如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P、Q都在函数y=f(x)的图象上;②P、Q关于原点对称,则对称点(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).则下列函数中,恰有两个“伙伴点组”的函数是(填空写所有正确选项的序号)
①y= ;②y= ;③y= ;④y= .
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【题目】如图,已知矩形四点坐标为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线所在直线的方程;
(2)求矩形外接圆的方程;
(3)若动点为外接圆上一点,点为定点,问线段PN中点的轨迹是什么,并求出该轨迹方程。
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【题目】设函数f(x)= (a>b>0)的图象是曲线C.
(1)在如图的坐标系中分别做出曲线C的示意图,并分别标出曲线C与x轴的左、右交点A1 , A2 .
(2)设P是曲线C上位于第一象限的任意一点,过A2作A2R⊥A1P于R,设A2R与曲线C交于Q,求直线PQ斜率的取值范围.
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【题目】如图,设是椭圆的左焦点,点是轴上的一点,点为椭圆的左、右顶点,已知,且
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作直线交椭圆于两点,试判定直线的斜率之和是否为定值,并说明理由.
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