【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C.
(1)求∠C
(2)若△ABC的面积为5 ,b=5,求sinA.
【答案】
(1)
解:∵3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C,
∴3(cosAcosB﹣sinAsinB)+1=cos2C,
可得:3cos(A+B)+1=cos2C,
∴﹣3cosC+1=2cos2C﹣1,
可得:2cos2C+3cosC﹣2=0,
可得:(2cosC﹣1)(cosC+2)=0,
∴解得:cosC= 或cosC=﹣2(舍去),
∵0<C<π,
∴∠C=
(2)
解:∵S△ABC= absinC=5 ,b=5,C= ,可得:a=4,
∵由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC=16+25﹣2× =21,可得:c= ,
∴由正弦定理可得:sinA= = =
【解析】(1)移项,利用两角和的余弦函数公式,三角形内角和定理,二倍角的余弦函数公式,诱导公式化简已知可得2cos2C+3cosC﹣2=0,进而解得cosC,结合范围0<C<π,即可得解C的值.(2)由已知利用三角形面积公式可求a,由余弦定理可得c的值,进而利用正弦定理即可解得sinA的值.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;才能正确解答此题.
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【题目】《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢.”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第天,两马相逢.
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【题目】如图,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是菱形,侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C,A1B=AB=AA1=2,△AA1C1的面积为 ,且∠AA1C1为锐角.
(I) 求证:AA1⊥BC1;
(Ⅱ)求锐二面角B﹣AC﹣C1的余弦值.
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【题目】在平面直角坐标系中内动点P(x,y)到圆F:x2+(y﹣1)2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设点P的轨迹为曲线E,过点F的直线l的斜率为k,直线l交曲线E于A,B两点,交圆F于C,D两点(A,C两点相邻).
①若 =t ,当t∈[1,2]时,求k的取值范围;
②过A,B两点分别作曲线E的切线l1 , l2 , 两切线交于点N,求△ACN与△BDN面积之积的最小值.
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【题目】已知命题 方程 有两个不相等的负实根,
命题 不等式 的解集为 ,
(1)若为真命题,求 的取值范围.
(2)若 为真命题, 为假命题,求 的取值范围.
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点Q为对角面A1BCD1内一动点,点M、N分别在直线AD和AC上自由滑动,直线DQ与MN所成角的最小值为θ,则下列结论中正确的是( )
A. 若θ=15°,则点Q的轨迹为椭圆的一部分
B. 若θ=30°,则点Q的轨迹为椭圆的一部分
C. 若θ=45°,则点Q的轨迹为椭圆的一部分
D. 若θ=60°,则点Q的轨迹为椭圆的一部分
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【题目】抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0 , y0)(x0≠0)作斜率为k1 , k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1 , y1)B(x2 , y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠﹣1).
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足 =λ ,证明线段PM的中点在y轴上;
(Ⅲ)当λ=1时,若点P的坐标为(1,﹣1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.
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【题目】f(x)是定义在(0,+∞)上单调函数,且对x∈(0,+∞),都有f(f(x)﹣lnx)=e+1,则方程f(x)﹣f′(x)=e的实数解所在的区间是( )
A.(0, )
B.( ,1)
C.(1,e)
D.(e,3)
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