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17.已知命题P:函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R;命题Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若P∨Q是真命题,P∧Q是假命题;求实数a的取值范围.

分析 当P真:f(x)=lg(x2+2x+a)的定义域为R,有△=4-4a<0,解得a
命题Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.当a=2时成立,
当a≠2时,可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2<0}\\{△=4(a-2)^{2}+16(a-2)<0}\end{array}\right.$,解得a范围.由于P∨Q是真命题,求出上述并集即可.

解答 解:当P真:f(x)=lg(x2+2x+a)的定义域为R,
有△=4-4a<0,解得a>1;
当命题Q真:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.当a=2时成立,
当a≠2时,可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2<0}\\{△=4(a-2)^{2}+16(a-2)<0}\end{array}\right.$,解得-2<a≤2.
若P∨Q是真命题,则0<a<1或-2<a≤2.
因此实数a的取值范围是-2<a≤2.
∵P∨Q是真命题,且P∧Q为假命题,
∴P真Q假,或P假Q真.
$\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{a≤-2或a>2}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{-2<a≤2}\end{array}\right.$
即a>2或-2<a≤1.

点评 本题考查了指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定,考查了推理能力,属于中档题.

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