Question

【题目】已知函数f(x)＝ax2－ln x，a∈R.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

(2)讨论f(x)的单调性．

(3)是否存在a，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)对函数求导得到f′(1)＝0，f(1)＝，进而得到切线方程是一条平行于x轴的直线；（2）对函数求导，讨论导函数的正负进而得到单调性；（3）由(2)可知，当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减，方程f(x)＝2不可能有两个不等的实数根；当a>0时，才有可能，结合上一问得到的函数的单调性，使得函数的极小值小于0即可.

.

(1)当a＝1时，f′(x)＝x－，∴f′(1)＝0，f(1)＝，

∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.

(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－＝ (x>0)．

①当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．

②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，

当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)>0.

故函数f(x)在内单调递减，在内单调递增．

(3)存在a∈(0，e3)，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根．

理由如下：

由(2)可知，当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减，

方程f(x)＝2不可能有两个不等的实数根；

当a>0时，函数f(x)在内单调递减，在内单调递增，

使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根，

等价于函数f(x)的极小值f<2，即f＝＋ln a<2，解得0＜a＜e3，

∴a的取值范围是(0，e3)．