Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；
（2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：垂直．

证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，

可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

所以PA⊥AE．

而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，

所以AE⊥PD．

（2）解：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0）， ， ，D（0，2，0），P（0，0，2）， ， ，

所以 ， ．

设平面AEF的一个法向量为 ，则 ，

因此 ，取z1=﹣1，则 ．

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，故 为平面AFC的一个法向量．

又 ，所以 ．

因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）判断垂直．证明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD．（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过向量的数量积求解二面角的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质，需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行才能得出正确答案．