Question

【题目】设函数f（x）= x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），

由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，

令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，

故当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，2）和（2a，+∞）上是增函数，在区间（2，2a）上是减函数．

（2）解：由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．

= ，f（0）=24a．

则 即 解得1＜a＜6，

故a的取值范围是（1，6）．

【解析】（1）先求出导函数，利用导数大于0对应的为原函数的增区间，导数小于0对应的为原函数的减区间，即可求f（x）的单调性；（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，所以须满足最小值大于0，解不等式组 即可求a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．