Question

已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，证明AD垂直平面PAB内的两条相交直线PO，AB，即可证明AD⊥PB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出

PD

，

AB

=(0，2，0)利用cos＜

PD

，

AB

＞=

PD • AB

| PD ||  AB |

=-

1

3

，求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）平面PABD 法向量

n

=（1，0，0）设平面PCD的法向量

m

=（x，y，z），通过cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，则PO⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB
PO?平面PAB，可得PO⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，AD⊥AB，PO∩AB=0
可得AD⊥平面PAB
PB?平面PAB
所以 AD⊥PB


（Ⅱ）过O作AD的平行线为x轴，OB、OP分别为y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，-1，0）
D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0）由已知左视图知PO=2，故P（0，0，2）

PD

=（2，-1，-2），

AB

=(0，2，0)cos＜

PD

，

AB

＞=

PD • AB

| PD ||  AB |

=-

1

3

（Ⅲ）平面PABD 法向量

n

=（1，0，0）设平面PCD的法向量

m

=（x，y，z）

m • PD =0  m • CD =0

2x-y-2z=0 y=0

可得x=y
取

m

=(

1

2

，0，

1

2

)
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n ||  m |

=

2

2

即所求二面角的大小为

π

4

点评：本题主要考查三视图、直线与直线直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想像能力，推理论证能力，以及运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．