Question

【题目】如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园， 公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km2）．
（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求面积S（km2）关于x（km）的函数解析式；
（Ⅲ）求面积S（km2）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设抛物线y2=2px ∵点F（4，2）在抛物线上，∴22=2p×4，∴2p=1，∴y2=x
（Ⅱ）设P（x2 ， x） 则QE=AE﹣AQ=4﹣x2
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4﹣x2+x （0＜x＜2）
（Ⅲ）S'（x）=﹣3x2+x+4令S'（x）=0则x=﹣1（舍去）或
当 时，S'＞0，∴S（x）递增；当 时，S'＜0，∴S（x）递减；
∴当 km时， km2

【解析】（Ⅰ）设抛物线y2=2px，根据点F（4，2）在抛物线上，可求AF所在抛物线的标准方程；（Ⅱ）公园形状为直角梯形QPRE，所以利用面积公式可求，应注意x的取值范围；（Ⅲ）先求导函数，令导数为0，得 ，利用函数在（0，2）上是单峰函数，可求函数的最值．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．