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已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:
(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;
(2)当x∈(1,2]时f(x)=2-x给出结论如下:
①任意m∈Z,有f(2m)=0;
②函数f(x)的值域为[0,+∞);
③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k-1).
其中所有正确结论的序号是    
【答案】分析:依据题中条件注意研究每个选项的正确性,连续利用题中第(1)个条件得到①正确;
连续利用题中第(2)个条件得到②正确;
利用反证法及2x变化如下:2,4,8,16,32,判断③命题错误;
据①②③的正确性可得④是正确的.
解答:解:①f(2m)=f(2•2m-1)=2f(2m-1)=…=2m-1f(2),正确;
②取x∈(2m,2m+1),则∈(1,2];f()=2-,从而
f(x)=2f()=…=2mf()=2m+1-x,其中,m=0,1,2,…
从而f(x)∈[0,+∞),正确;
③f(2n+1)=2n+1-2n-1,假设存在n使f(2n+1)=9,即存在x1,x2-=10,又,2x变化如下:2,4,8,16,32,显然不存在,所以该命题错误;
④根据前面的分析容易知道该选项正确;
综合有正确的序号是①②④.
点评:本题通过抽象函数,考查了函数的周期性,单调性,以及学生的综合分析能力,难度不大.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:
(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;
(2)当x∈(1,2]时f(x)=2-x给出结论如下:
①任意m∈Z,有f(2m)=0;
②函数f(x)的值域为[0,+∞);
③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k-1).
其中所有正确结论的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)满足:f(m)+f(n)=f(m•n)对任意m,n∈(0,+∞)均成立.
(Ⅰ)求f(1)的值;若f(a)=1,求f(
1a
)
的值;
(Ⅱ)若关于x的方程2f(x+1)=f(kx)有且仅有一个根,求实数k的取值集合.

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已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:
①对任意m∈Z,有f(2m)=0;
②存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
③函数f(x)的值域为[0,+∞);
④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k+1)”.
其中所有正确结论的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为(0,+∞)函数f(x)的解析式满足(x-1)f(x-1)=x2-2x+2.函数g(x)=
f(x),x>0
f(-x),x<0
,则函数g(x)在区间[-2,-
1
2
]上的值域是
[2,
5
2
]
[2,
5
2
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),若对任意x∈(0,+∞),都有f(f(x)+log
1
2
x)=3
,则方程f(x)=2+
x
的解的个数是
0
0

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