Question

10．已知曲线C：y=x+$\frac{1}{x}$
（1）求证：曲线C上的各点处的切线的斜率小于1；
（2）求曲线C上斜率为0的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求导y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜1，从而可判断函数y=x+$\frac{1}{x}$图象上各点处切线的斜率都小于1．
（2）令y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=0得x=±1，从而由导数的几何意义求切线方程．

解答 解：（1）证明：∵y=x+$\frac{1}{x}$，
∴y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜1，
即对函数y=x+$\frac{1}{x}$定义域内的任一x，其导数值都小于1，
由导数的几何意义可知，
函数y=x+$\frac{1}{x}$图象上各点处切线的斜率都小于1．
（2）令y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，得x=±1，
当x=1时，y=1+1=2；
当x=-1时，y=-2，
∴曲线y=x+$\frac{1}{x}$的斜率为0的切线有两条，其切点分别为（1，2）与（-1，-2），
切线方程分别为y=2或y=-2．

点评 本题考查了导数的几何意义与导数的综合应用，属于中档题．