Question

（2011•湖北模拟）已知三次曲线C：f （x）=x³+bx²+cx+d的图象关于点A（1，0）中心对称．
（1）求常数b的值及c与d的关系；
（2）当x＞1时，f （x）＞0恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由图象关于A（1，0）对称得f （x）+f（2-x）=0恒成立，即：（2b+b）x²-4（b+3）x+2d+2c+4b+8=0恒成立，则可得

2b+6=0 b+3=0 2d+2c+4b+8=0

，整理可得
（2）由f（x）＞0可得x³-3x²+cx+2-c＞0恒成立，x²-2x-2+c＞0恒成立，结合x＞1及二次函数的性质可求c的范围

解答：（1）由图象关于A（1，0）对称得f （x）+f（2-x）=0恒成立
即：（2b+6）x²-4（b+3）x+2d+2c+4b+8=0恒成立
∴

2b+6=0 b+3=0 2d+2c+4b+8=0

∴

b=-3 d+c=2

…（6分）
（2）f（x）＞0得
x³-3x²+cx+2-c＞0恒成立
x³-3x²+2+（x-1）c＞0
即（x-1）（x²-2x-2）+c（x-1）＞0
∴x²-2x-2+c＞0恒成立
而x＞1时　　x²-2x-2+c＞-3+c≥0
∴c≥3…（12分）

点评：本题主要考查了函数的图象关于点的对称的性质：若函数的图象关于（a，0）对称，则f （x）+f（2a-x）=0恒成立，注意与关于直线x=a对称的结论的不同（f（x）=f（2a-x））及函数的恒成立与函数最值的相互转化．