Question

求下列函数的值域：
（1）函数y=x²+4x-2，x∈R的值域为

 

；
（2）函数y=x-

1-2x

的值域为

 

；
（3）已知x∈R，且x≠0，则函数y=x²+

1

x2

-x-

1

x

的值域为

 

；
（4）函数y=

x+1

x+2

的值域为

 

．
（5）函数y=

2 x -4

x +3

的值域为

 

．

Answer 1

分析：（1）配方法：首先把原函数配方变为（x+2）²-6，则值域可求；
（2）换元法：令t=

1-2x

，则利于二次函数在闭区间上的最值得到值域；
（3）换元法：令t=x+

1

x

，同（2）类似得到；
（4）分离常数法：y=

x+1

x+2

=1-

1

x+2

，则值域可求；

（5）分离常数法：y=

2 x -4

x +3

=2-

10

x +3

则值域可求．

解答：解：（1）配方法：由于y=x²+4x-2=（x+2）²-6，则y≥-6，故其值域为[-6，+∞）；
（2）换元法：令t=

1-2x

（t≥0），则y=x-

1-2x

=

1

2

-

1

2

t2-t=-

1

2

(t+1)2+1（t≥0），
故y≤-

1

2

(0+1)2+1=

1

2

，故其值域为(-∞，

1

2

]；
（3）换元法：令t=x+

1

x

（t≥2），则函数y=x²+

1

x2

-x-

1

x

=t2-2-t=(t-

1

2

)2-

9

4

，
由于t≥2，则y≥(2-

1

2

)2-

9

4

=0，故其值域为[0，+∞）；

（4）分离常数法：y=

x+1

x+2

=1-

1

x+2

，由于x+2≠0，则y≠1，故其值域为（-∞，1）∪（1，+∞）；

（5）分离常数法：y=

2 x -4

x +3

=2-

10

x +3

，
由于

x

+3≥3，∴0＜

10

x +3

≤

10

3

，则-

10

3

≤-

10

x +3

＜0，即-

4

3

≤2-

10

x +3

＜2，故其值域为[-

4

3

，2)．

点评：本题考查了函数值域的求法，考查了配方法，换元法，分离常数法等，考生要重点掌握．