Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F₁F₂为双曲线C的左，右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0，由该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，知双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．由此利用双曲线C的一个焦点为 (

2

，0)，能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）由

y=mx+1 x2-y2=1

，得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2．直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|QF₁|，若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|．由此能求出点N的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
则kx-y=0
∵该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1．
又双曲线C的一个焦点为 (

2

，0)
∴2a²=2，a²=1．
∴双曲线C的方程为x²-y²=1．
（Ⅱ）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0．
令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

解得1＜m＜

2

．
又AB中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直线l的方程为y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．
令x=0，
得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，
∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，
则延长QF₂到T，使|QT|=|QF₁|，
若Q在双曲线的左支上，
则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|．
根据双曲线的定义|TF₂|=2，
所以点T在以F2(

2

，0)为圆心，2为半径的圆上，
即点T的轨迹方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)①
由于点N是线段F₁T的中点，
设N（x，y），T（x_T，y_T）．
则

x= xT- 2 2 y= yT 2

，即

xT=2x+ 2 yT=2y

．
代入①并整理得点N的轨迹方程为x²+y²=1.(x≠-

2

2

)

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．