Question

已知函数f（x）=

x

4

+ln

x-2

x-4

（1）求函数f（x）的定义域和极值；
（2）若函数f（x）在区间[a²-5a，8-3a]上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）函数f（x）的图象是否为中心对称图形？若是请指出对称中心，并证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值；
（2）利用（1）中的增区间，建立不等式，即可求实数a的取值范围；
（3）由（1）知函数f（x）的图象若是中心对称图形，则中心一定在两极值点的中心（3，

3

4

），设（x，y）是函数f（x）的图象上的任意一点，则(6-x，

3

2

-y)是它关于（3，

3

4

）的对称点，证明(6-x，

3

2

-y)也在函数f（x）的图象上即可．

解答：解：（1）由题意，

x-2

x-4

＞0，解得x＜2或x＞4
∴函数f（x）的定义域为（-∞，2）∪（4，+∞），
由f′(x)=

x(x-6)

4(x-2)(x-4)

=0得：x=0或x=6，所以

x	（-∞，0）	0	（0，2）	（4，6）	6	（6，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

∴f(x)极大值=f(0)=-ln2，f(x)极小值=f(6)=ln2+

3

2

（2）由（1）知a²-5a＜8-3a≤0或6≤a²-5a＜8-3a，所以

8

3

≤a＜4或-2＜a≤-1
（3）由（1）知函数f（x）的图象若是中心对称图形，则中心一定在两极值点的中心（3，

3

4

），下面证明：
设（x，y）是函数f（x）的图象上的任意一点，则(6-x，

3

2

-y)是它关于（3，

3

4

）的对称点，而f(6-x)=ln

6-x-2

6-x-4

+

6-x

4

=

3

2

-(ln

x-2

x-4

+

x

4

)=

3

2

-y，即(6-x，

3

2

-y)也在函数f（x）的图象上．
所以函数f（x）的图象是中心对称图形，其中心是（3，

3

4

）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的对称性，确定函数的单调性是关键．