Question

如图，已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=

16

9

交于M、N两点，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C₂相切．
（ⅰ）若直线l与抛物线C₁也相切，求直线l的方程；
（ⅱ）若直线l与抛物线C₁交与不同的A、B两点，求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不妨设点M在y轴的右侧，根据题意可得：OM与x轴正半轴成30°，根据半径得到点M的坐标再代入抛物线的方程进而得到P的值，即可求出抛物线的方程．
（Ⅱ）设l：y=kx+b，由题意可得：9b²=16（k²+1），
（ⅰ）设直线l与抛物线C₁相切于点T(t，

1

2

t2)，利用导数解决相切问题，即可得到k，t，b的两个关系式，结合上面所求的关系式进而求出k与b的值，得到直线方程．
（ⅱ）由直线与抛物线相交可得b与k的一个关系式，结合结合上面所求的关系式求出b的范围，再结合韦达定理利用b表示出

OA

•

OB

，进而求出其范围．

解答：解：（Ⅰ）不妨设点M在y轴的右侧，
因为∠MON=120°，所以OM与x轴正半轴成30°角，
所以点M的坐标为(

2 3

3

，

2

3

)，
即可将点M的坐标代入抛物线方程得(

2 3

3

)2=2p×

2

3

，
解得p=1，
所以抛物线C₁的方程为x²=2y…（3分）
（Ⅱ）设l：y=kx+b，即kx-y+b=0
因为l与圆C₂相切，所以

|b|

k2+1

=

4

3

，即9b²=16（k²+1）---（1）…（5分）
（ⅰ）设直线l与抛物线C₁：x²=2y即y=

1

2

x2相切于点T(t，

1

2

t2)
因为函数y=

1

2

x2的导数为y'=x，所以

k=t 1 2 t2=kt+b

----（2）
由（1）（2）解得

t=2 2 k=2 2 b=-4

或

t=-2 2 k=-2 2 b=-4

所以直线l的方程为y=-2

2

x-4或y=2

2

x-4…（9分）
（ⅱ）联立直线l的方程与圆的方程

x2=2y y=kx+b

，整理得x²-2kx-2b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
由△=4k²+8b＞0得k²+2b＞0----（3）
由（1）（3）可得

k2= 9 16 b2-1≥0 9 16 b2-1+2b＞0

，解得b≥

4

3

或b＜-4
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1

4

(x1x2)2+x1x2=b2-2b∈[-

8

9

，+∞)
即

OA

•

OB

的取值范围是[-

8

9

，+∞)…（13分）

点评：本题主要考查圆与抛物线、直线与抛物线的位置关系，以及向量的坐标运算，是对知识的综合考查，属于中档题目．在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般常把直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理解决问题．