Question

某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取   100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．

（1）请先求出频率分布表中①，②位置相应的数据，再完成下列频率分布直方图；并确定中位数。（结果保留2位小数）
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的条件下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

Answer 1

（1）①35②0.3中位数为171.67；
     
（2）3,2,1（3）

试题分析：1）由频率的意义可知，每小组的频率=频数：总人数，由此计算填表中空格；（2）先算出第3、4、5组每组学生数，分层抽样得按比例确定每小组抽取个体的个数，求得第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．（3）根据概率公式计算，事件“六位同学中抽两位同学”有15种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选”可能种数是9，那么即可求得事件A的概率.
解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，（1分）第3组的频率为30:100=0.300，（2分）频率分布直方图如图所示：

（5分）（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：
×6=3人，（6分）第4组：×6=2人，（7分）第5组： ×6=1人，（8分）所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的1位同学为C₁，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），
（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），（10分）其中第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选的有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（B₁，B₂），（A₃，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），9中可能，（12分）所以其中第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选的概率为9:15=3:5．（15分）
点评：此题考查了对频数分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m：n