Question

（2012•绍兴模拟）如图，过抛物线x²=4y焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限），点C（0，t）（t＞1）．
（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，求直线l的方程；
（II）若|AB|∈(

9

2

，

64

7

)，且∠FAC为锐角，试求t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设直线l的方程为y=kx+1，代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，得|FA|=2|BF|，由此能求出直线方程．
（Ⅱ）由抛物线x²=4y焦点F（0，1），知

AF

=(-x 1，1-y1 )，

AC

=(-x1，t-y1)，若∠FAC为锐角，则y12+(3-t)y1+t＞0，由|AB|∈（

9

2

，

64

7

），知|AB|=y₁+y₂+2=kx₁+1+kx₂+1=4k²+4，由此能够推导出t的取值范围．

解答：解：（I）设直线l的方程为y=kx+1，
代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，①
∵△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，
即|BF|，|FA|，|BA|成等差数列，
∴|BF|+|BA|=2|FA|，
得|FA|=2|BF|，
即x₁=-2x₂，代入①得x2=-

2

，k=

2

4

，
∴所求直线方程为y=

2

4

x+1，即

2

x-4y+4=0．
（Ⅱ）∵抛物线x²=4y焦点F（0，1），
∴

AF

=(-x 1，1-y1 )，

AC

=(-x1，t-y1)，
若∠FAC为锐角，则

AF

•

AC

=x12+(1-y1)(t-y1)＞0，
即y12+(3-t)y1+t＞0，
∵|AB|∈（

9

2

，

64

7

），
|AB|=y₁+y₂+2=kx₁+1+kx₂+1=k（x₁+x₂）+2=4k²+4，
且k2=(

y1-1

x1

)2=

(y1-1)2

4y1

，
从而|AB|=

(y1-1)2

y1

+4，
得y1∈( 

1

7

，

1

2

)∪(2，7)．
若y1∈(

1

7

，

1

2

)，当t＞1时，∠FAC必为锐角；
若y₁∈（2，7），则g(y1)=y12+(3-t)y1+t＞0在（2，7）上恒成立．
由于g（y₁）的对称轴为y1=-

3-t

2

，
故①当-

3-t

2

＜2，即1＜t＜7时，g（2）=10-t＞0满足题意；
②当2≤-

3-t

2

≤7，即7≤t≤17时，△=（3-t）²-4t＜0，
即t²-10t+9＜0，解得1＜t＜9，∴7≤t＜9；
③当-

3-t

2

＞7，即t＞17时，g（7）=70-6t＞0无解．
综上所述，t的取值范围是（1，9）．

点评：本题考查直线方程的求法，求实数的取值范围，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．