Question

y=f（x）在R上有定义，对于给定的正数k，定义fk(x)=

f(x) f(x)≤k k f(x)＞k

取f（x）=2^-|x|，当k=

1

2

时，f_k（x）的单调递增区间为

 

．

Answer 1

分析：由题意，fk(x)=

f(x) f(x)≤k k f(x)＞k

表示f（x）和k中的较小值，而

1

2

=2-1，故可分x≤-1，-1＜x＜1和x≥1三段进行讨论；或者作出f（x）=2^-|x|的图象，与

1

2

比较大小，从而确定f_k（x）的图象，由图象确定单调递增区间．

解答：解：f（x）=2^-|x|的图象和k=

1

2

的图象如右图所示：
fk(x)=

f(x) f(x)≤k k f(x)＞k

表示f（x）和k中的较小值，
故fk(x)=

2x x≤-1 1 2 -1＜x＜1 2-x x≥1

故f_k（x）的单调递增区间为（-∞，-1]
故答案为：（-∞，-1]

点评：本题为新定义问题，正确理解新定义的含义是解决此类问题的关键．本题还考查含有绝对值的函数的性质问题．