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10.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数,f(0)=1,且f′(x)-2f(x)=0,则f(x)>e的解集为($\frac{1}{2}$,+∞).

分析 根据题意,不妨设f(x)=e2x,x∈R,则f(x)在R上是单调增函数,把不等式f(x)>e化为e2x>e,从而求出不等式的解集.

解答 解:根据题意,不妨设f(x)=e2x,x∈R,
则f′(x)=2e2x,满足f(0)=e0=1,且f′(x)-2f(x)=0;
所以f(x)在R上是单调增函数;
所以不等式f(x)>e等价于e2x>e,
∴2x>1,解得:x>$\frac{1}{2}$,
故不等式的解集是($\frac{1}{2}$,+∞),
故答案为:($\frac{1}{2}$,+∞).

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了构造函数的解题方法,是综合性题目.

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