Question

9．已知在单调递增数列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=$\frac{2{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值猜想a_n=2^n-1，再利用数学归纳法证明即可．

解答 解：依题意，a₂=$\frac{2}{{a}_{2}-1}$，∴${{a}_{2}}^{2}$-a₂-2=0，
解得：a₂=2或a₂=-1（舍），
a₃=$\frac{8}{{a}_{3}-2}$，∴${{a}_{3}}^{2}$-2a₃-8=0，
解得：a₃=4或a₃=-2（舍），
a₄=$\frac{32}{{a}_{4}-4}$，∴${{a}_{4}}^{2}$-4a₄-32=0，
解得：a₄=8或a₄=-4（舍），
猜想：a_n=2^n-1．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=2^k-1，
∴a_k+1=$\frac{2{{a}_{k}}^{2}}{{a}_{k+1}-{a}_{k}}$=$\frac{{2}^{2k-1}}{{a}_{k+1}-{2}^{k-1}}$，
整理得：${{a}_{k+1}}^{2}$-2^k-1a_k+1-2^2k-1=0，
∴（a_k+1-2^k）（a_k+1+2^k-1）=0，
解得：a_k+1=2^k或a_k+1=-2^k-1（舍），
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知a_n=2^n-1．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．