Question

（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P―ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面底面ABCD，是BC中点，AO交BD于E.（I）求证：；（II）求二面角的大小；（III）求证：平面平面PAB.

Answer 1

解析：方法一：（I）证明：，又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，平面ABCD    ……2分

    在梯形ABCD中，可得

    ，即

    在平面ABCD内的射影为AO，       ……4分

    （II）解：，且平面平面ABCD

    平面PBC，                   平面PBC，

    为二面角P―DC―B的平面角                ……6分

    是等边三角形即二面角P―DC―B的大小为   …8分

 （III）证明：取PB的中点N，连结CN， ①

    ，且平面平面ABCD，平面PBC            ……10分

    平面PAB    平面平面PAB  ②

     由①、②知平面PAB…………..10分

连结DM、MN，则由MN//AB//CD，，

得四边形MNCD为平行四边形，，平面PAB．  

平面PAD    平面平面PAB ……………….12分

方法二：取BC的中点O，因为是等边三角形，

    由侧面底面ABCD    得底面ABCD ……1分

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O―xyz……2分

（I）证明：，则在直角梯形中，

    在等边三角形PBC中，……3分

   

                   

    ，即…4分

 （II）解：取PC中点N，则

   

    平面PDC，显然，且平面ABCD

    所夹角等于所求二面角的平面角        ……6分

   

 ，二面角的大小为         ……8分

（III）证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为

    又                 ……10分

，

    即

平面PAB，平面平面PAB   ……12分