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设数列{an}是一个无穷数列,记Tn=
n+2i=1
2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1
,n∈N*
(1)若{an}是等差数列,证明:对于任意的n∈N*,Tn=0;
(2)对任意的n∈N*,若Tn=0,证明:an是等差数列;
(3)若Tn=0,且a1=0,a2=1,数列bn满足bn=2an,由bn构成一个新数列3,b2,b3,…,设这个新数列的前n项和为Sn,若Sn可以写成ab,(a,b∈N,a>1,b>1),则称Sn为“好和”.问S1,S2,S3,…,中是否存在“好和”,若存在,求出所有“好和”;若不存在,说明理由.
分析:(1)、根据题中已知条件写出2Tn的表达式,将Tn与2Tn相减便可得出-Tn的表达式,将{an}是等差数列代入-Tn的表达式便可证明对于任意的n∈N*,Tn=0;
(2)、根据题中条件先将Tn=0,再将Tn+1=0,然后将两式相减得出an+1、an+2与an+3的关系式,再将T1=0,便可得出a1、a2与a3的关系式,即可证明{an}是等差数列;
(3)、存在,根已知条件写出数列bn的公式进而求得Sn,再根据题中的新定义写出ab的形式,取出满足条件的a的取值范围,分别讨论当b为偶数和奇数时是否存在“好和”,便可求出当n=3时存在“好和“.
解答:解:(1)对于任意的正整数n,
Tn=
n+2
i=1
2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1

2Tn=2
n+2
i=1
2i-1ai+4a1-2a3-2n+3an+1

将上面两等式作差得:-Tn=a3-a1+
n+1
i=1
2i(ai+1-ai)+2n+2(an+1-an+2)

∵数列an是等差数列,
-Tn=(a2-a1)(2+
n+1
i=1
2i-2n+2)=0

∴Tn=0.

(2)∵对于任意的正整数n,Tn=
n+2
i=1
2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1=0

Tn+1=
n+3
i=1
2i-1ai+2a1-a3-2n+3an+2=0

将上面两等式作差得:an+3-2an+2+an+1=0,
T1=
3
i=1
2i-1ai+2a1-a3-23a2=0
,即a3-a2=a2-a1
于是,对一切正整数n都是an+3-2an+2+an+1=0,所以数列{an}是等差数列.

(3)由(2)知an是等差数列,其公差是1,所以an=a1+(n-1)=n-1,bn=2an=2n-1
当n≥2时,Sn=3+2+4++2n-1=2n+1,S1=3=2+1,
所以对一切正整数n都有Sn=2n+1.
由ab=2n+1,ab-1=2n,a,b∈N,a>1,b>1,
∴a只能是不小于3的奇数.
当b为偶数时,ab-1=(a
b
2
+1)(a
b
2
-1)=2n
,因为a
b
2
+1
a
b
2
-1
都是大于1的正整数,
所以存在正整数t,s使得a
b
2
+1=2sa
b
2
-1=2t

2s-2t=2,2t(2s-t-1)=2,
∴2t=2且2s-t-1=1,t=1,s=2,相应的n=3,即有S3=32,S3为好和;
当b为奇数时,ab-1=(a-1)(1+a+a2++ab-1),
由于1+a+a2++ab-1是b个奇数之和,仍为奇数,又a-1为正偶数,
所以(a-1)(1+a+a2++ab-1)不成立,这时没有好和.
点评:本题主要涉及等差数列和等比数列的性质,以及利用相减法求前n项的和等知识点,考查学生的运算能力和对数列的综合掌握,解题时注意转化思想和分类讨论思想的运用,时各地高考的热点和难点,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列{an}的一个子数列.设数列{an}是一个首项为a1、公差为d(d≠0)的无穷等差数列.
(1)若a1,a2,a5成等比数列,求其公比q.
(2)若a1=7d,从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若a1=1,从数列{an}中取出第1项、第m(m≥2)项(设am=t)作为一个等比数列的第1项、第2项,试问当且仅当t为何值时,该数列为{an}的无穷等比子数列,请说明理由.

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设数列{an}是一个公差不为零的等差数列,已知它的前10项和为110,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若bn=(n+1)an求数列{
1bn
}
的前n项和Tn

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从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称为数列{an}的一个子数列,设数列{an}是一个首项为a1,公差为d(d≠0)的无穷等差数列.
(1)若a1,a2,a5为公比为q的等比数列,求公比q的值;
(2)若a1=1,d=2,请写出一个数列{an}的无穷等比子数列{bn};
(3)若a1=7d,{cn}是数列{an}的一个无穷子数列,当c1=a2,c2=a6时,试判断{cn}能否是{an}的无穷等比子数列,并说明理由.

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(2012•奉贤区二模)数列{an} 的各项均为正数,a1=t,k∈N*,k≥1,p>0,an+an+1+an+2+…+an+k=6pn
(1)当k=1,p=5时,若数列{an}是成等比数列,求t的值;
(2)当t=1,k=1时,设Tn=a1+
a2
p
+
a3
p2
+…+
an-1
pn-1
+
an
pn-1
,参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法,求证:数列
1+p
p
Tn-
an
pn
-6n
是一个常数;
(3)设数列{an}是一个等比数列,求t(用p,k的代数式表示).

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设数列{an}是一个无穷数列,记Tn=
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(1)若{an}是等差数列,证明:对于任意的n∈N*,Tn=0;
(2)对任意的n∈N*,若Tn=0,证明:{an}是等差数列.

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