Question

设数列{a_n}是一个无穷数列，记Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差数列，证明：对于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）对任意的n∈N^*，若T_n=0，证明：a_n是等差数列；
（3）若T_n=0，且a₁=0，a₂=1，数列b_n满足bn=2an，由b_n构成一个新数列3，b₂，b₃，…，设这个新数列的前n项和为S_n，若S_n可以写成a^b，（a，b∈N，a＞1，b＞1），则称S_n为“好和”．问S₁，S₂，S₃，…，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知条件写出2T_n的表达式，将T_n与2T_n相减便可得出-T_n的表达式，将{a_n}是等差数列代入-T_n的表达式便可证明对于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）、根据题中条件先将T_n=0，再将T_n+1=0，然后将两式相减得出a_n+1、a_n+2与a_n+3的关系式，再将T₁=0，便可得出a₁、a₂与a₃的关系式，即可证明{a_n}是等差数列；
（3）、存在，根已知条件写出数列b_n的公式进而求得S_n，再根据题中的新定义写出a^b的形式，取出满足条件的a的取值范围，分别讨论当b为偶数和奇数时是否存在“好和”，便可求出当n=3时存在“好和“．

解答：解：（1）对于任意的正整数n，
∵Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，
2Tn=2

n+2

i=1

2i-1ai+4a1-2a3-2n+3an+1
将上面两等式作差得：-Tn=a3-a1+

n+1

i=1

2i(ai+1-ai)+2n+2(an+1-an+2)
∵数列a_n是等差数列，
∴-Tn=(a2-a1)(2+

n+1

i=1

2i-2n+2)=0，
∴T_n=0．

（2）∵对于任意的正整数n，Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1=0
∴Tn+1=

n+3

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+3an+2=0
将上面两等式作差得：a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0，
由T1=

3

i=1

2i-1ai+2a1-a3-23a2=0，即a₃-a₂=a₂-a₁，
于是，对一切正整数n都是a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0，所以数列{a_n}是等差数列．

（3）由（2）知a_n是等差数列，其公差是1，所以a_n=a₁+（n-1）=n-1，bn=2an=2n-1，
当n≥2时，S_n=3+2+4++2^n-1=2ⁿ+1，S₁=3=2+1，
所以对一切正整数n都有S_n=2ⁿ+1．
由a^b=2ⁿ+1，a^b-1=2ⁿ，a，b∈N，a＞1，b＞1，
∴a只能是不小于3的奇数．
当b为偶数时，ab-1=(a

b

2

+1)(a

b

2

-1)=2n，因为a

b

2

+1和a

b

2

-1都是大于1的正整数，
所以存在正整数t，s使得a

b

2

+1=2s，a

b

2

-1=2t，
2^s-2^t=2，2^t（2^s-t-1）=2，
∴2^t=2且2^s-t-1=1，t=1，s=2，相应的n=3，即有S₃=3²，S₃为好和；
当b为奇数时，a^b-1=（a-1）（1+a+a²++a^b-1），
由于1+a+a²++a^b-1是b个奇数之和，仍为奇数，又a-1为正偶数，
所以（a-1）（1+a+a²++a^b-1）不成立，这时没有好和．

点评：本题主要涉及等差数列和等比数列的性质，以及利用相减法求前n项的和等知识点，考查学生的运算能力和对数列的综合掌握，解题时注意转化思想和分类讨论思想的运用，时各地高考的热点和难点，属于中档题．