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    某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：
    类别 A类 B类 C类 D类
    顾客数（人） 20 30 40 10
    时间t（分钟/人） 2 3 4 6
    注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
    （Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；
    （Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
    分析：（Ⅰ）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列，用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：
    ①办理第一、二位业务所需的时间分别为2、3分钟；②办理第一、二位业务所需的时间分别为3、2分钟；故P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2），计算可得；
    （Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，分别可得其概率，进而可得分布列和数学期望故EX．
    解答：解：（Ⅰ）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列如下：
     Y 2   3  4 6 
     P  
    1
    5
    		  
    3
    10
    2
    5
     
    1
    10
     
    用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：
    ①办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间为3分钟；
    ②办理第一位业务所需的时间为3分钟，且办理第二位业务所需的时间为2分钟；
    ∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）=
    1
    5
    ×
    3
    10
    +
    3
    10
    ×
    1
    5
    =
    3
    25
    ；
    （Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，
    X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，故P（X=0）=P（Y＞4）=
    1
    10
    ，
    X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，
    或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，
    故P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）=
    1
    5
    ×
    4
    5
    +
    3
    10
    +
    2
    5
    =
    43
    50
    ，
    X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，故P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=
    1
    5
    ×
    1
    5
    =
    1
    25
    ，
    故X的分布列为：
    X  0  1  2 
     P
    1
    10
         		  
    43
    50
    1
    25
     
    故EX=0×
    1
    10
    +1×
    43
    50
    +2×
    1
    25
    =
    47
    50
    点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解和频率分布表的应用，属中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    据统计，在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下：

    排队人数

    0人

    1人

    2人

    3人

    4人

    5人及5人以上

    概率

    0.05

    0.14

    0.35

    0.3

    0.1

    0.06

    试求：（1）至多有2人等候排队的概率是多少？

            （2）至少有3人等候排队的概率是多少？

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