Question

设a_n是(1+

x

)n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），则

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)=

2

．

Answer 1

分析：由题意可知：a_n=

C

2 n

=

n(n+1)

2

，故

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），于是

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]，

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)的值可求．

解答：解：∵a_n是(1+

x

)n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），
∴a_n=

C

2 n

=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴是

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

），
∴

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

2(1-

1

n+1

)=2．
故答案为：2．

点评：本题考查二项式定理的应用及极限及其运算，着重考查裂项法求和及极限求值，属于中档题．