(12分)如图,直三棱柱A1B1C1―ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB.
D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.
(1)求二面角B―A1D―A的平面角余弦值;
(2)在线段AC上是否存在一点F,使得EF⊥平面A1BD?若存在,确定其位置并证明结论;若不存在,说明理由.
解析:解法一:(1)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M,连结BM
∵BC⊥平面ACC1A1 ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影
∴BM⊥A1G ∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点
∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,
, 余弦值为 …………6分
(2)在线段AC上存在一点F,使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点,证明如下:
∵A1B1C1―ABC为直三棱柱 , ∴B1C1//BC
∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA
∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ,F为AC中点 ∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D同理可证EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD
∵E为定点,平面A1BD为定平面,点F唯一 …………12分
解法二:(1)∵A1B1C1―ABC为直三棱住 C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立坐标系得
C(0,0,0) B(2,0,0) A(0,2,0)
C1(0,0,2) B1(2,0,2) A1(0,2,2)
D(0,0,1) E(1,0,2)
设平面A1BD的法向量为n=(1,)
平面ACC1A1的法向量为=(1,0,0)
(2)在线段AC上存在一点F,设F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由(2)知,当且仅当//
∴存在唯一一点F(0,1,0)满足条件. 即点F为AC中点
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