Question

如图，已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=2，BC=1，∠ABC=90°，E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为

5

2

．

Answer 1

分析：分类讨论，若把面ABA₁B₁ 和面B₁C₁BC展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
若把把面ABA₁B₁ 和面A₁B₁C展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
若把把面ACC₁A₁和面A₁B₁C₁展开在同一个面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
以上求出的EF 的长度的最小值即为所求．

解答：解：直三棱柱底面为等腰直角三角形，若把面ABA₁B₁ 和面B₁C₁BC展开在同一个平面内，
线段EF就在直角三角形A₁EF中，由勾股定理得 EF=

A1F2+A1E2

=

1+ 25 4

=

29

2

．．
若把把面ABA₁B₁ 和面A₁B₁C展开在同一个平面内，设BB₁的中点为G，则线段EF就在直角三角形EFG中，
由勾股定理得 EF=

EG2+FG2

=

4+ 9 4

=

5

2

＜

29

2

．
若把把面ACC₁A₁和面A₁B₁C₁展开在同一个面内，过F作与CC₁行的直线，过E作与AC平行的直线，所作的两线交与点H，

OF=

1

2

×

2

5

=

5

5

，OC₁=

1

2

×

1

5

=

5

10

，
则EF就在直角三角形EFH中，由勾股定理得 EF=

EH2+FH2

=

( 5 - 5 10 )2+(1+ 5 5 )2

=

3 5

2

＞

5

2

，
综上，从E到F两点的最短路径的长度为

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题考查了将两个平面展在同一平面求几何体表面最小距离的问题，考查了分类讨论思想的应用．