Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f=af（b）+bf（a）．又已知，考查下列结论：①f（0）=0；②f（-1）=-1；③a₂是a₁，a₃的等比中项；④b₂是b₁，b₃的等差中项．其中正确的是    ．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】分析：令a=b=0，得f（0）=f（0•0）=0，可知①正确；
令a=b=1，得f（1）=f（1•1）=2f（1），f（1）=0；又令a=b=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=2f（-1），
得f（-1）=0，可知②不正确；
由f（2）=2，则f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，得b_n=b_n-1+1，{b_n}是等差数列，故④正确；
又b₁=1，b_n=1+（n-1）×1=n，f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n•2ⁿ，则a_n=2ⁿ，数列{a_n}是等比数列，故③正确．
解答：解：∵f（0）=f（0•0）=0•f（0）+0•f（0）=0，∴①正确；
又f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0；f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），∴f（-1）=0，故②错；
又∵f（2）=2，∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，∴b_n===+1
即b_n=b_n-1+1，∴{b_n}是等差数列，故④正确；
又b₁==1，∴b_n=1+（n-1）×1=n，∴f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n•2ⁿ，∴a_n=2ⁿ，∴数列{a_n}是等比数列，故③正确．
故答案为：①③④
点评：本题考查了数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项公式的计算等知识．