Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），点P（m，n）为抛物线上任意一点，其中m≥0．
（1）判断抛物线与正比例函数的交点个数；
（2）定义：凡是与圆锥曲线有关的圆都称为该圆锥曲线的伴随圆，如抛物线的内切圆就是最常见的一种伴随圆．此外还有以焦点弦为直径的圆，以及以焦点弦为弦且过顶点的圆等．同类的伴随圆构成一个圆系，圆系中有无数多个圆．求证：抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）；
（3）请研究抛物线以焦点弦为直径的伴随圆，推导出其圆系方程，并写出一个关于它的正确命题．

Answer 1

分析：（1）设正比例方程为y=kx（k≠0），联立

y2=2px y=kx

?x(k2x-2p)=0，由此可知抛物线与正比例函数有两个交点．
（2）y2=2px?2yy′=2p?y′=

p

y

，所以过点P的切线斜率为k=

p

n

，所以过改点的法线斜率为-

1

k

=-

n

p

，从而相应的法线方程为y-n=-

n

p

(x-m)，由此可知抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）．
（3）探究结论：抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(x-

k2+2

k2

p)2+(y-

p

k

)2=(

k2+1

k2

)p2（k为参数且k≥0）
然后再结合题设条件进行证明．

解答：解：（1）设正比例方程为y=kx（k≠0），联立

y2=2px y=kx

?x(k2x-2p)=0
得到x1=0，x2=

2p

k2

＞0，
因此抛物线与正比例函数有两个交点．（2分）
（2）y2=2px?2yy′=2p?y′=

p

y

，
所以过点P的切线斜率为k=

p

n

，
所以过改点的法线斜率为-

1

k

=-

n

p

，
从而相应的法线方程为y-n=-

n

p

(x-m)，
因为抛物线关于x轴对称，
所以有其内切圆的圆心必在x轴上，令y=0得x=p+m，设内切圆的半径为R，
则R²=（p+m-m）²+（0-n）²=p²+n²=p²+2pm
从而抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）（6分）
（3）探究结论：抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(x-

k2+2

k2

p)2+(y-

p

k

)2=(

k2+1

k2

)p2（k为参数且k≥0）（8分）
证明：设焦点弦AB所在直线方程为y=k(x-

p

2

)，与抛物线方成联立便可以得到

k2x2-p(k2+2)x+ p2k2 4 =0 ky2-2py-kp2=0

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

k2+2

k2

p，x1x2=

p2

4

；y1+y2=

2p

k

，x1x2=-p2；
设伴随圆圆心为（m，n），则m=

x1+x2

2

=

k2+2

2k2

，n=

y1+y2

2

=

n

k

，
设伴随圆半径为RR2=

1

4

|AB|2=

(k2+1)2

k4

p2
所以伴随圆系方程为(x-

k2+2

k2

p)2+(y-

p

k

)2=(

k2+1

k2

)p2（11分）
命题：抛物线y²=2px（p＞0）以焦点弦为直径的伴随圆的圆心轨迹为抛物线．（13分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．