Question

对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，若满足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”．定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1．设A是“0-1数列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（1）若数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．则数列A为    ；
（2）若A为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k=1，2，3，…，则l_2n关于n的表达式．是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由变换T的定义“T将“0-1数列”A中原有的每个0都变成1，0”，直接可得数列A．
（2）设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，由此能求出l_2n关于n的表达式．
解答：解：（1）∵数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，
∴由变换T的定义可得A₁：0，1，1，0，0，1．…（2分）
A：1，0，1．…（4分）
（2）设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，
所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，
由变换T的定义及A：0，1可得A_k中0和1的个数总相等，且共有2^k+1个，
所以b_k+1=l_k+2^k，
所以l_k+2=l_k+2^k，
由A：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以l₁=1，l₂=1，
当k≥3时，
若k为偶数，l_k=l_k-2+2^k-2，l_k-2=l_k-4+2^k-4，…l₄=l₂+2²．
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2==（2k-1），
经检验，k=2时，也满足lk=（2k-1）．
∴l_2n=（4ⁿ-1）．
故答案为：1，0，1；（4ⁿ-1）．
点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，注意新定义的准确理解，解题时要合理地挖掘题设中的隐含条件，恰当地进行等价转化．