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分别以双曲线的焦点为顶点,以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P的坐标为(0,3),在y轴上是否存在定点M,过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点,使以AB为直径的圆恒过点P,若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)双曲线的焦点为(±5,0),顶点为(±4,0),
所以所求椭圆方程为
(Ⅱ)假设存在M(0,a),过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点,
使以AB为直径的圆恒过点P,AB方程为y=kx+a,
代入方程,消去y,得
(9+25k2)x2+50akx+25a2﹣225=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2=
=x1x2+y1y2﹣3(y1+y2)+9
=x1x2+(kx1+a)(kx2+a)﹣3k(x1+x2)﹣6a+9
=(k2+1)x1x2+k(a﹣3)( x1+x2)+a2﹣6a+9
=(k2+1)+k(a﹣3)+a2﹣6a+9
由以AB为直径的圆恒过点P,可得
得17a2﹣27a﹣72=0,
∴(17a+24)(a﹣3)=0
∴a=3,或a=
∵点P的坐标为(0,3),过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点
∴a=
故M点的坐标存在,M的坐标为(0,
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