Question

【题目】已知函数 的值域为R，则常数a的取值范围是（ ）
A.（﹣1，1]∪[2，3）
B.（﹣∞，1]∪[2，+∞）
C.（﹣1，1）∪[2，3）
D.（﹣∞，0]{1}∪[2，3）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函数 ，

当x＜1时，f（x）=1﹣x2≤1，

∴x≥1时，f（x）= 的最小值小于1，

因为y=x2﹣2ax+3a的开口向上，对称轴为x=a，

若a≤1，当x≥1时，函数是增函数，最小值为f（1）=log2（1+a），可得log2（1+a）≤1，解得a∈（﹣1，1]；

若a＞1，最小值为 ，可得 ，解得a∈[2，3），

常数a的取值范围是（﹣1，1]∪[2，3），

所以答案是：A．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．