Question

设a为实数，f(x)=

3

3x+1

+a
（1）证明：f（x）为R上的减函数．
（2）若f（x）为奇函数，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义即可证明：f（x）为R上的减函数．
（2）利用f（x）为奇函数，建立方程即可求a的值．

解答：解：（1）设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

3

3x1+1

-

3

3x2+1

=

3(3x2+1)-3(3x1+1)

(3x1+1)(3x2+1)

=

3(3x2-3x1)

(3x1+1)(3x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴3x2-3x1＞0，

3(3x2-3x1＞0)

(3x1+1)(3x2+1)＞0

，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）为R上的减函数．
（2）∵函数f（x）的定义域为R，
∴若f（x）为奇函数，
则f（0）=0，
即f(0)=

3

30+1

+a=

3

2

+a=0，
解得a=-

3

2

．

点评：本题主要考查函数单调性的判断以及函数奇偶性的应用，利用定义法是解决此类问题的关键．