Question

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A₁B₁C₁D₁和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A₁B₁C₁D₁的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）
（Ⅰ）若设休闲区的长和宽的比

A1B1

B1C1

=x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；
（Ⅱ）要使公园所占面积最小，休闲区A₁B₁C₁D₁的长和宽该如何设计？

Answer 1

分析：（I）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米，根据休闲区A₁B₁C₁D₁的面积为4000平方米，将a用x表示，然后根据矩形的面积公式求出公园ABCD所占面积S关于x的函数即可；
（II）利用均值不等式求出最小值，注意等号成立的条件，从而求出长和宽．

解答：解：（Ⅰ）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米，
∴a2x=4000?a=

20 10

x

，
∴S=（a+8）（ax+20）=a²x+（8x+20）a+160

=4000+(8x+20)• 20 10 x +160 =80 10 (2 x + 5 x )+4160，x∈(1，+∞)

（Ⅱ）S≥1600+4160=5760，
当且仅当2

x

=

5

x

?x=2.5时，公园所占面积最小，此时，a=40，ax=100，
即休闲区A₁B₁C₁D₁的长为100米，宽为40米．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用均值不等式求最值，属于中档题．