Question

若函数f(x)=

3x+1，(x≥0) x+2，(x＜0)

满足不等式f（1+x²）＞f（ax）对任意的x恒成立，则a的取值范围是

-2＜a＜2

．

Answer 1

分析：根据分段函数的图象可以判断出函数f（x）在R上是单调递增函数，利用f（x）的单调性，将“f”去掉，从而得到关于x的不等式恒成立，求解即可得到a的取值范围．

解答：解：∵f(x)=

3x+1，(x≥0) x+2，(x＜0)

，
画出函数图象如右图所示，根据函数图象可以得到，函数f（x）在R上是单调递增函数，
∵（1+x²）＞f（ax）对任意的x恒成立，
∴1+x²＞ax对任意的x恒成立，即x²-ax+1＞0对任意的x恒成立，
∴△=（-a）²-4＜0，解得，-2＜a＜2，
∴a的取值范围是-2＜a＜2．
故答案为：-2＜a＜2．

点评：本题考查了分段函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式．对于分段函数的问题，一般选用数形结合的数学思想方法或运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．