Question

19．已知函数f（x）=x^m-$\frac{4}{x}$，且f（4）=3．
（1）求m的值；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）若不等式f（x）-a＞0在区间（1，∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可，
（2）根据奇函数的定义即可证明，
（3）不等式f（x）-a＞0在区间（1，∞）上恒成立，则a＜f（x）_min，根据函数的单调性即可求出．

解答 解：（1）∵f（x）=x^m-$\frac{4}{x}$，且f（4）=3
∴4^m-1=3，
解得m=1；
（2）证明：由（1）可得f（x）=x-$\frac{4}{x}$，定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
且有f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）不等式f（x）-a＞0在区间（1，∞）上恒成立，
∴a＜f（x）在区间（1，∞）上恒成立，
∵f（x）在[1，+∞）为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=-3，
故a＜-3．

点评 本题考查了函数的解析式的求法和函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题．