Question

9．若函数f（x）=lnx+ax²-2在区间（$\frac{1}{2}$，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-$\frac{1}{8}$，+∞）
• C． （-2，-$\frac{1}{8}$）
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a＞${（-\frac{1}{{2x}^{2}}）}_{min}$，而g（x）=-$\frac{1}{{2x}^{2}}$在（$\frac{1}{2}$，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax，
若f（x）在区间（$\frac{1}{2}$，2）内存在单调递增区间，
则f′（x）＞0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有解，
故a＞${（-\frac{1}{{2x}^{2}}）}_{min}$，
而g（x）=-$\frac{1}{{2x}^{2}}$在（$\frac{1}{2}$，2）递增，
g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=-2，
故a＞-2，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．