Question

（2012•许昌一模）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束．甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：

出场顺序	1号	2号	3号	4号	5号
获胜概率	1 2	p	q	1 2	2 5

若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是

1

8

，比赛至少打满4场的概率为

3

4

（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求甲队获胜场数的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是

1

8

，比赛至少打满4场的概率为

3

4

，建立方程组，即可求p，q的值；
（Ⅱ）求得甲队获胜场数的可能取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意

1 2 pq= 1 8 1- 1 8 -(1- 1 2 )(1-p)(1-q)= 3 4

∴p=q=

1

2

；
（Ⅱ）设甲队获胜场数为ξ，则ξ的可取的值为0，1，2，3
P（ξ=0）=(

1

2

)3=

1

8

；P（ξ=1）=

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

1

2

=

3

16

；
P（ξ=2）=

C

2 4

•(

1

2

)2•(

1

2

)2•

3

5

=

9

40

；P（ξ=3）=(

1

2

)3+

C

2 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

1

2

+

C

2 4

•(

1

2

)2•(

1

2

)2•

2

5

=

37

80

∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 8	3 16	9 40	37 80

Eξ=0×

1

8

+1×

3

16

+2×

9

40

+3×

37

80

=

81

40

．

点评：本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．