Question

给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为

2π

3

．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

AB

上运动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，求x+y的最大值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：计算题,平面向量及应用

分析：对

OC

=x

OA

+y

OB

，两边平方并根据已知条件可得到：x²-xy+y²=（x+y）²-3xy=1，所以（x+y）²-1=3xy，因为根据向量加法的平行四边形法则可知，x，y＞0，所以xy≤

(x+y)2

4

，所以（x+y）²-1≤

3

4

（x+y）²，所以得到x+y≤2，所以x+y的最大值是2．

解答： 解：由已知条件知：

OC

2=1=（x

OA

+y

OB

）²=x²-xy+y²=（x+y）²-3xy；
∴（x+y）²-1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，
∴x+y≥2

xy

，∴xy≤

(x+y)2

4

；
∴（x+y）²-1≤

3

4

（x+y）²，∴（x+y）²≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．

点评：考查向量数量积的运算及计算公式，向量加法的平行四边形法则，基本不等式．