Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0），若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．且F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（I）求F（x）的表达式；
（II）若当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）二次函数过点（-1，0）代入求出a与b的关系式，减少未知量，再根据任意实数x均有f（x）≥0成立，a＞0，开口向上，可得△≤0，从而求解出a的范围，得到a值，再写出F（x）；
（II）由（I）可知f（x）的解析式，代入g（x），然后对g（x）进行求导，利用常数分离法求出k的取值范围；

解答：解：（I）∵二次函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0），且f（-1）=0，
∴a-b+1=0，得b=a+1，
则f（x）=ax²+（a+1）x+1，又∵对任意实数x均有f（x）≥0成立，a＞0，
∴△=（a+1）²-4a≤0，即（a-1）²≤0，∴a=1，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1   (x＞0) -x2-2x-1     (x＜0)

（II）由上可知g（x）=x²+（2-k）x+1，∴函所g（x）的对称轴为x=

2-k

2

∴当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数
∴有

2-k

2

≥2或

2-k

2

≤-2
∴k≥6或k≤-2

点评：本题考查了函数的单调性的应用，两个函数的简单运算后判定单调性，解题过程中用到了常数分离法求范围的方法，这是高考常考的考点，我们要熟练掌握；