设函数,其中
.
(I)若函数图象恒过定点P,且点P关于直线
的对称点在
的图象上,求m的值;
(Ⅱ)当时,设
,讨论
的单调性;
(Ⅲ)在(I)的条件下,设,曲线
上是否存在两点P、Q,使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由.
( I ) ;(Ⅱ)当m≥0时,
在(0,+∞)上为增函数;当m<0时,
在
上为增函数,在
上为减函数.(Ⅲ)存在,
.
解析试题分析:( I )先求出定点P,然后找出点P关于直线的对称点代入
,即得到
;(Ⅱ)将
代入,得到
,再讨论m的取值范围,从而得到
的单调性;(Ⅲ)先求出
的表达式,再假设存在P、Q两点满足题意,由
,讨论
的范围,从而得到a的取值范围为
.
试题解析:( I ) 令,则
,即函数
图象恒过定点P (2,0) (1分)
∴P (2,0)关于直线的对称点为(1,0) (2分)
又点(1,0)在的图象上,∴
,∴
(3分)
(Ⅱ) ∵且定义域为
(4分)
∴ (5分)
∵x>0,则x+1>0
∴当m≥0时,此时
在(0,+∞)上为增函数. (6分)
当m<0时,由得
,由
得
∴在
上为增函数,在
上为减函数. (7分)
综上,当m≥0时,在(0,+∞)上为增函数.
当m<0时,在
上为增函数,在
上为减函数. (8分)
(Ⅲ)由( I )知,,假设曲线
上存在两点P、Q满足题意,则P、Q两点只能在
轴两侧,设
,则
,
因为△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,,即
①
(1)当时,
,此时方程①为
,化简得
.此方程无解,满足条件的P、Q不存在.
(2)当时,
,此时方程①为
,
即.
设,则
,
显然当时,
,即
在
上为增函数,所以
的值域为
.
所以当时方程①总有解.
综上,存在P、Q两点满足题意,则a的取值范围为.
考点:1.点关于直线对称;2.用导数研究函数的单调性;3.函数的单调性与值域.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施不能建设开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N,切曲线于点P,设
.
(I)将(O为坐标原点)的面积S表示成f的函数S(t);
(II)若,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若函数在定义域内为增函数,求实数m的取值范围;
(3)若,
的三个顶点
在函数
的图象上,且
,
、
、
分别为
的内角A、B、C所对的边。求证:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=+
,g(x)=
ln(2ex)(其中e为自然对数的底数)
(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值;
(2)是否存在一次函数h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)对一切x>0恒成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由:
3)数列{}中,a1=1,
=g(
)(n≥2),求证:
<
<
<1且
<
.
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