Question

已知椭圆+y²=1的左焦点为F，O为坐标原点.

(Ⅰ)求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

(Ⅱ)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

Answer 1

分析：(Ⅰ)先由圆过点O，F得出圆心在x=-上，再由圆与l相切得出半径r，再进一步求出圆心坐标.

(Ⅱ)G点的横坐标的取值范围取决于直线的斜率的取值，故可先建立x_G关于直线的斜率K的函数，再求函数的值域.

解：(Ⅰ)∵a²=2,b²=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2

∵圆过O，F，∴圆心M在直线x=-上，

    设M(-,t),则圆半径r=|(-)-(-2)|=.

    由|OM|=r得=,得t=±.

∴所求圆的方程为(x+)²+(y±)²=.

(Ⅱ)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),

    代入+y²=1,得(1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0.

∵直线过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根，

    记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点N(x₀,y₀),

    则x₁+x₂=,x₀=(x₁+x₂)=-,y₀=k(x₀+1)=,

∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y₀=-(x-x₀),令y=0得

x_G=x₀+ky₀=-=-+.

∵k≠0,∴-＜x＜0.

∴点G横坐标的取值范围为(-,0).