Question

（2010•抚州模拟）已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，设∠BAC=x，并记f(x)=

AB

•

BC

．
（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）设函数g（x）=6mf（x）+1，若函数g（x）的值域为(1，

5

4

]，试求正实数m的值．

Answer 1

分析：（1）通过正弦定理求出AB，BC，利用向量的数量积化简三角函数，通过二倍角公式两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）利用（1）直接得到函数g（x）=6mf（x）+1，通过函数的定义域，求出sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]，结合函数g（x）的值域为(1，

5

4

]，即可求正实数m的值．

解答：解：（1）由题意可得∠ACB=π-

2π

3

-x=

π

3

-x，
在△ABC中，由正弦定理可知：

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠ABC

，
可得AB=

AC•sin∠ACB

sin∠ABC

=

sin( π 3 -x)

sin 2π 3

=

2 3 sin( π 3 -x)

3

，(0＜x＜

π

3

)；

BC

sinx

=

AC

sin∠ABC

，BC=

sinx

sin 2 3 π

=

2 3 sinx

3

，
f(x)=

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cos

1

3

π
=

2 3 sin( π 3 -x)

3

•

2 3 sinx

3

×

1

2

=

2

3

sin(

π

3

-x) sinx
=

3

3

sinxcosx-

1

3

sin2x
=

1

3

sin(2x+

π

6

)-

1

6

，(0＜x＜

π

3

)．（6分）
（2）由（1）可知，g(x)=6mf(x)+1=2msin(2x+

π

6

)-m+1(0＜x＜

π

3

)，
假设存在正实数m符合题意，
∵x∈(0，

π

3

)，∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，故sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
又m＞0，2msin(2x+

π

6

)-m+1∈（1，m+1]，
函数g（x）的值域为（1，m+1]，
令m+1=

5

4

⇒m=

1

4

．（12分）

点评：本题是中档题，考查正弦定理的应用，三角函数基本公式的应用，注意函数的定义域与函数的值域，考查计算能力．