Question

下列命题中，真命题个数为（　　）
①直线2x+y-1=0的一个方向向量为

a

=(1，-2)；
②直线x+y-1=0平分圆x²+y²-2y=1；
③曲线

x2

m+1

+

y2

6-m

=1表示椭圆的充要条件为-1＜m＜6；
④如果双曲线

x2

4

-

y2

2

=1上一点P到双曲线右焦点距离为2，则点P到y轴的距离是

2 6

3

．

Answer 1

分析：对于①直线2x+y-1=0的一个方向向量为

a

=(1，-2)；②直线x+y-1=0经过圆x²+y²-2y=1的圆心（0，1）；③曲线

x2

m+1

+

y2

6-m

=1表示椭圆的充要条件为-1＜m＜6且m≠

5

2

，；对于④根据点P到双曲线右焦点的距离判断点P在右支上，再根据双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离和有准线方程，进而得到点P到y轴的距离．

解答：解：①直线2x+y-1=0的一个方向向量为

a

=(1，-2)；正确；
②直线x+y-1=0经过圆x²+y²-2y=1的圆心（0，1）故平分圆x²+y²-2y=1；正确；
③曲线

x2

m+1

+

y2

6-m

=1表示椭圆的充要条件为-1＜m＜6且m≠

5

2

，故错；
对于④由点P到双曲线右焦点 (

6

，0)的距离是2知P在双曲线右支上．
又由双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离是

2 6

3

，双曲线的右准线方程是 x=

2 6

3

，
故点P到y轴的距离是

4 6

3

；错．
故选B．

点评：本题主要考查了方向向量、椭圆的方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．