Question

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：
①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
②f(1)=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)成立．
解答下列问题：
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)函数g(x)=2^x-1在[0，1]上是否同时满足①②③？
(Ⅲ)假定存在x₀∈[0，1]，使得f(x₀)∈[0，1]且f[f(x₀)]=x₀，求证：f(x₀)=x₀。

Answer 1

解：(Ⅰ)令x₁=x₂=0，f(0)≥f(0)+f(0)，f(0)≤0，
又x∈[0，1]时，f(0)≥0，
∴f(0)=0．
(Ⅱ)当x∈[0，1]时，2^x∈[1，2]，
∴2^x-1∈[0，1]，
∴满足条件①；
又g(1)=2¹-1=1，
∴满足条件②；
设x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，则，
，
，
∵x₁≥0，x₂≥0，
∴，
∴g(x₁+x₂)≥g(x₁)+g(x₂)，
∴满足条件③，
∴同时满足①②③．
(Ⅲ)任给m，n∈[0，1]，若m＜n，f(m)≤f(n)，
假设若x₀＜f(x₀)，则f(x₀)≤f[f(x₀)]=x₀矛盾；
同理若x₀＞f(x₀)，则f(x₀)≥f[f(x₀)]=x₀矛盾；
∴假设不成立，
∴f(x₀)=x₀。