Question

（）（本小题满分14分）

设椭圆其相应于焦点的准线方程为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：

        ;

 （Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值

Answer 1

（1）椭圆的方程为；（2）同解析（3）取得最小值

解析:

（1）由题意得：

                

      椭圆的方程为

      (2)方法一：

         由（1）知是椭圆的左焦点，离心率

         设为椭圆的左准线。则

         作，与轴交于点H(如图)

         点A在椭圆上

       

              

              

       

       同理

       。

方法二：

      当时，记，则

      将其代入方程   得

      设  ，则是此二次方程的两个根.

     

     

             ................(1)

      代入（1）式

得       ........................(2)

      当时，  仍满足（2）式。

     

（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得

                ，

   

    当时，取得最小值