Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与直线${l_1}：y=\frac{1}{2}x$，${l_2}：y=-\frac{1}{2}x$，过椭圆上一点P作l₁，l₂的平行线，分别交l₁，l₂于M，N两点．若|MN|为定值，则$\sqrt{\frac{a}{b}}$的值是2．

Answer 1

分析 取点P为上下定点，分别求出MN的长度，两次求出MN相等，即可得到a、b的数量关系．

解答 解：当点P为（0，b）时，过椭圆上一点P作l₁，l₂的平行线分别为${l_1}：y=\frac{1}{2}x$+b，${l_2}：y=-\frac{1}{2}x$+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$可得M（b，$\frac{b}{2}$），同理可得N（-b，$\frac{b}{2}$），|MN|=2b．
当点P为（a，0）时，过椭圆上一点P作l₁，l₂的平行线分别为${l_1}：y=\frac{1}{2}x$-$\frac{1}{2}a$，${l_2}：y=-\frac{1}{2}x$+$\frac{1}{2}a$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}a}\end{array}\right.$可得M（$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{4}a$），同理可得N（$\frac{a}{2}$，-$\frac{1}{4}a$），），|MN|=$\frac{a}{2}$．
若|MN|为定值，则2b=$\frac{a}{2}$，⇒$\frac{a}{b}=4$，∴则$\sqrt{\frac{a}{b}}$的值是2．
故答案为：2．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系，根据已知采用特例法是解客观题的有效办法，属于中档题，