Question

设α、β都是锐角，且cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

，则cosβ=

2 5

25

．

Answer 1

分析：由α为锐角，根据cosα的值，求出sinα的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（α+β），且根据其值范围确定出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子中的角β变形为（α+β）-α，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵α为锐角，cosα=

5

5

＜

2

2

，
∴sinα=

1-cos2α

=

2 5

5

，
∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

5

5

（2cosβ+sinβ）=

3

5

，且

1

2

＜

3

5

＜

2

2

，
∴2cosβ+sinβ=

3 5

5

①，且

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

4

5

×

5

5

+

3

5

×

2 5

5

=

2 5

25

．
故答案为：

2 5

25

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．