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已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)若f(x)=lgg(x),判断函数g(x)在(O,1)内的单调性,并用定义证明.
分析:(1)由函数f(x)的解析式可得
1+x>0
1-x>0
,解得x的范围,可得函数的定义域.
(2)先判断函数为偶函数,当a>1时,利用函数的单调性的定义证明函数在(0,1)上是减函数,再由偶函数的性质可得函数在(-1,0)上是增函数.
同理可证,当0<a<1时,函数在(-1,0)上是减函数,函数在(0,1)上是增函数.
(3)由于f(x)=lgg(x)=lg(1-x2),利用函数的单调性的定义可证 g(x)=1-x2,用函数的单调性的定义可证函数g(x)在(0,1)内单调递减.
解答:解:(1)由函数f(x)=loga(1-x)+loga(1+x)(a>0,a≠1),可得
1+x>0
1-x>0
,解得-1<x<1,
故函数的定义域为 (-1,1).
(2)由于函数f(x)=lg(1-x2),且定义域关于原点对称、满足f(-x)=f(x),故函数为偶函数.
(3)由于f(x)=lgg(x)=lg(1-x2),∴g(x)=1-x2,显然函数g(x)在(0,1)内单调递减.
证明:设x2>x1>0,则 x22x12>0,故 0<1-x22<1-x12,故(1-x22)<(1-x12),
即g(x2)<g(x1),故函数g(x)在(0,1)上是减函数.
点评:本题主要考查求函数的定义域的方法,函数的单调性的定义和证明,属于基础题.
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