Question

已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）=lgg（x），判断函数g（x）在（O，1）内的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，解得x的范围，可得函数的定义域．
（2）先判断函数为偶函数，当a＞1时，利用函数的单调性的定义证明函数在（0，1）上是减函数，再由偶函数的性质可得函数在（-1，0）上是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，函数在（-1，0）上是减函数，函数在（0，1）上是增函数．
（3）由于f（x）=lgg（x）=lg（1-x²），利用函数的单调性的定义可证 g（x）=1-x²，用函数的单调性的定义可证函数g（x）在（0，1）内单调递减．

解答：解：（1）由函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）（a＞0，a≠1），可得

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域为 （-1，1）．
（2）由于函数f（x）=lg（1-x²），且定义域关于原点对称、满足f（-x）=f（x），故函数为偶函数．
（3）由于f（x）=lgg（x）=lg（1-x²），∴g（x）=1-x²，显然函数g（x）在（0，1）内单调递减．
证明：设x₂＞x₁＞0，则 x22＞x12＞0，故 0＜1-x22＜1-x12，故（1-x22）＜（1-x12），
即g（x₂）＜g（x₁），故函数g（x）在（0，1）上是减函数．

点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，函数的单调性的定义和证明，属于基础题．