Question

在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量

m

=（1，2sinA），

n

=（sinA，1+cosA），满足

m

∥

n

，b+c=

3

a．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sin（B+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（I）根据所给的向量的坐标和向量平行的条件，写出向量平行的充要条件，得到关于角A的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果．
（II）本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，和b+c=

3

a．根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系，逆用两角和的正弦公式，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由

m

∥

n

，得2sin²A-1-cosA=0，
即2cos²A+cosA-1=0，
∴cosA=

1

2

或cosA=-1．
∵A是△ABC内角，cosA=-1舍去，
∴A=

π

3

．

（Ⅱ）∵b+c=

3

a，由正弦定理，
sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

，
∵B+C=

2π

3

，sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

，
∴

3

2

cosB+

3

2

sinB=

3

2

，
即sin（B+

π

6

）=

3

2

．

点评：本题是向量平行的运算，条件中给出两个向量的坐标，代入共线的充要条件的公式运算即可，只是题目所给的模不是数字，而是用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换．本题是一个综合题．